Различные виды уравнений прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид  x=x1 ax·λy=y1 ay·λ , где x1, y1, ax, ay – это некоторые действительные числа, из которых ax  и ay  не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

https://www.youtube.com/watch{q}v=upload

Числа x, y   представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Пример 5

Предположим, что λ=0 .

Тогда x=x1 ax·0y=y1 ay·0⇔x=x1y=y1 , т. е. точка с координатами (x1, y1)  принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты ax и ay при параметре λ  в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Пример 6

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x=2 3·λy=3 λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку (x1, y1)  и имеет направляющий вектор a→=(3, 1) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Т.к. этому уравнению удовлетворяют
координаты любой точки прямой, то
полученное уравнение – параметрическое
уравнение прямой.

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми
коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут
равняться нулю одновременно, но одно
или два из этих чисел могут равняться
нулю. В этом случае в уравнении прямой
следует приравнять нулю соответствующие
числители.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат Oху.

Определение 1

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой  в декартовой системе Oxy, называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y. Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

46 Угол между прямыми в пространстве

Аналитическая геометрия

Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки.

Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и М2(х2у2).
Составим каноническое уравнение прямой,
проходящей через эти две точки в качестве
направляющего вектора S возьмем M1M2

тройка.

– это уравнение прямой, проходящей через
две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)

Перейдем теперь к уравнениям прямой и
плоскости в пространстве.

Аналитическая геометрия в 3-мерном
пространстве

Аналогично двумерному случаю любое
уравнение первой степени относительно
трех переменных x, y, z есть уравнение
плоскости в пространстве Оxyz.. Общее
уравнение плоскости АX ВY СZ D = 0, где
вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости.
Каноническое уравнение плоскости,
проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей
нормаль N(А,В,С) А(х – х0) В(у – у0) С(z –
z0)=0 – что представляет собой это
уравнение{q}

Значения х –х0, у-у0 и z –z0 — это разности
координат текущей точки и фиксированной
точки. Следовательно, вектор а (х-х 0,
у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой
плоскости, а вектор N — вектор,
перпендикулярный к плоскости, а значит,
они перпендикулярны между собой.

Предлагаем ознакомиться:  Кто является первым наследником после смерти мужа, матери, отца, жены

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Тогда их скалярное произведение должно
равняться нулю.

А·(х-х0) В·(у-у0) С·(z-z0)=0

В пространстве различают правые и левые
тройки векторов. Тройка некомпланарных
векторов а, b, с называется правой, если
наблюдателю из их общего начала обход
концов векторов a, b, с в указанном порядке
кажется совершающимся по часовой
стрелке. В противном случае a,b,c – левая
.

Углом между прямыми в пространстве
будем называть любой из смежных углов,
образованных двумя прямыми, проведёнными
через произвольную точку параллельно
данным.

Очевидно, что за угол φ между прямыми
можно принять угол между их направляющими
векторами
и.
Так как,
то по формуле для косинуса угла между
векторами получим

Две прямые параллельны тогда и только
тогда, когда их соответствующие
коэффициенты пропорциональны, т.е. l1
параллельна l2 тогда и только тогда,
когда
параллелен.

Две прямые перпендикулярны тогда и
только тогда, когда сумма произведений
соответствующих коэффициентов равна
нулю: .

Поскольку искомая прямая l параллельна
l1, то в качестве направляющего вектора
искомой прямой l можно взять направляющий
вектор прямой l1.

Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку M0(x0,y0,z0) и параллельную
плоскости A1x B1y C1z D1=0

Различные виды уравнений прямой в пространстве

A1(x – x0) B1(y – y0) C1(z – z0) = 0

Спросить на консультации

(смешанное произведение векторов), иначе

  A1x B1y C1z D1=0   и   A2x B2y C2z D2=0,

то
очевидно, что угол между ними равен углу
между их нормалями, то есть между
векторами n1={A1,B1,C1)
и n2={A2,B2,C2).

Общее уравнение плоскости в декартовой
системе координат записывается следующим
образом: ax by cz d = 0.

Если известно, что плоскость проходит
через точку с координатами (x0, y0, z0), то
ее уравнение можно привести к виду a (x
– x0) b (y – y0) c (z – z0) = 0.

Уравнение

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко
вычисляется по формуле скалярного
произведения. Если эти плоскости задаются
уравнениями a1x b1y c1z d1 = 0 и a2x b2y c2z
d2 = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости,
задаваемой уравнением ax by cz d = 0, равно

Уравнения: r(t)=r0 a*t – векторное

(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c – каноническое

параметрическое

x=x1 a*t

Различные виды уравнений прямой в пространстве

y=y1 b*t

z=z1 c*t

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат Oxy.

Теорема 1

Уравнение вида Ax By C=0 , где x и y – переменные, а А, В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат Oxy. В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида Ax By C=0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax By C=0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Пример 1

Посмотрите на рисунок.

Общее уравнение прямой линии

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2x 3y-2=0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2x 3y-2=0, дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А, В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида Ax By=0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение Ax By C=0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс Ox. Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат Oy.

Вывод: при некотором наборе значений чисел А, В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат Oху.

Прямая, заданная уравнением вида Ax By C=0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A, B .

Предлагаем ознакомиться:  Прямые договора на вывоз тбо

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

тройка.

Уравнение

параметрическое

x=x1 a*t

y=y1 b*t

z=z1 c*t

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид xa yb=1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a, 0  и 0, b , а затем соединить их прямой линией.

Пример 2

Построим прямую, которая задана формулой x3 y-52=1 . Отмечаем на графике две точки 3, 0, 0, -52 , соединяем их между собой.

Уравнение прямой в отрезках

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y=k·x b  должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x.

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox.

Определение 2

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси Ox или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k=tg α .  Для прямой, которая располагается параллельно оси Oy или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y=k·x b, проходит через точку 0, b  на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку  0, b  и образует угол α с положительным направлением оси Ox, причем k=tg α .

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом».  Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x-x1ax=y-y1ay, где x1, y1, ax, ay- это некоторые действительные числа, из которых ax  и ay не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M1(x1, y1) . Числа ax  и ay  в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x-x1ax=y-y1ay  в декартовой системе координат Oxy соответствует линии, проходящей через точку M1(x1, y1)  и имеющей направляющий вектор a→=(ax, ay) .

Предлагаем ознакомиться:  Кто должен выплачивать долги, если должник умер
Пример 4

Изобразим в системе координат Oxy прямую линию, которая задается уравнением x-23=y-31. Точка M1(2, 3)  принадлежит прямой, вектор a→(3, 1) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой линии вида x-x1ax=y-y1ay может быть использовано в случаях, когда ax  или ay равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x-x1ax=y-y1ay  условной. Уравнение можно записать следующим образом ay(x-x1)=ax(y-y1) .

Различные виды уравнений прямой в пространстве

В том случае, когда ax=0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x-x10=y-y1ay  и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что ay=0 , принимает вид x-x1ax=y-y10 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

33. Направляющие косинусы вектора

Углы,
образуемые вектором a с
координатными осями Ox, Oy и Oz

Косинусы,
определяемые по этим формулам, называются
направляющими косинусами вектора a

Для
направляющих косинусов вектора имеет
место формула

т.
е. сумма квадратов косинусов углов,
образуемых вектором с тремя взаимно
перпендикулярными осями, равна единице.

Если

 т.
е. если а –
единичный вектор, обозначаемый обыкновенно

,
то его проекции на координатные оси
вычисляются по формулам

т.
е. проекции единичного вектора

на оси
прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны
соответственно направляющим косинусам
этого вектора. Имеет место формула

Векторное
произведение векторов a
и b
– вектор, обозначаемый или

 для
которого:

  1. (
    угол между векторами a
    и b,
    )

Если

,
то
равен
площади параллелограмма, построенного
на приведенных к общему началу векторах

b.

Векторное
произведение в координатах

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Если 

то

Или

Геометрический
смысл: Модуль
смешанного произведения численно равен
объёму параллелепипеда,
образованного векторами
a,
b,
c

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид ,Ax By C=0, где числа А, В, и C таковы, что длина вектора n→=(A, B) равна единице, а C≤0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой  в прямоугольной системе координат Oху, является вектор n→=(A, B) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n→=(A, B) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α·x cos β·y-p=0 , где cos α и cos β – это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n→=(cos α, cos β) , справедливо равенство n→=cos2 α   cos2 β=1 , величина p≥0  и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Пример 7

Рассмотрим общее уравнение прямой -12·x 32·y-3=0. Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n→=A2 B2=-122 32=1  и C=-3≤0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты -12, 32 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n→=-12, 32 .

Нормальное уравнение прямой

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой Ax By C=0 числа А, В и С таковы, что уравнение Ax By C=0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

34. Векторное произведение

Если 

то

Или

Свойства

1)
Смешанное произведение кососимметрично по
отношению ко всем своим аргументам:т. е.
перестановка любых двух сомножителей
меняет знак произведения. Отсюда следует,
что

2)
Смешанное произведение
в правой декартовой системе координат
(в ортонормированном базисе)
равно определителю матрицы,
составленной из векторов a,
b,
с

 частности,

  • Если
    три вектора линейно
    зависимы (т. е.
    компланарны, лежат в одной плоскости),
    то их смешанное произведение равно
    нулю.

  • Геометрический
    смысл — Смешанное произведение по
    абсолютному значению равно
    объёму параллелепипеда,
    образованного векторами
    a,
    b,c;
    знак зависит от того, является ли эта
    тройка векторов правой или левой.

36.
Уравнение
плоскости, проходящей через точку с
координатами (х0;у0;z0)  перпендикулярно
нормальному вектору плоскости с
координатами (А,В,С)

 A
(x-x0)
B (y-y0)
C (z-z0)=0

Неполные
уравнения плоскости.

   Если
хотя бы одно из чисел А,
В, С, D равно
нулю, уравнениеAx
By
Cz
D =

называют неполным.

1)       D =
0 – плоскость Ax   By   Cz =
0 проходит через начало координат.

2)       А =
0 – n =
{0,B,C}Ox,
следовательно, плоскость By   Cz   D =
0 параллельна оси Ох.

3)       В =
0 – плоскость Ax   Cz  D = 0
параллельна оси Оу.

4)       С =
0 – плоскость Ax   By   D =
0 параллельна оси Оz.

5)       А
= В =
0 – плоскость Cz   D =
0 параллельна координатной плоскости Оху (так
как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А
= С =
0 – плоскость Ву
 D =
0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C =
0 – плоскость Ax   D =
0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А
= D =
0 – плоскость By   Cz =
0 проходит через ось Ох.

9)       B = D =
0 – плоскость Ах
Сz =
0 проходит через ось Оу.

Различные виды уравнений прямой в пространстве

10)    C = D =
0 –  плоскость Ax   By =
0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D =
0 – уравнение Сz =
0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D =
0 – получаем Ву =
0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D =
0 – плоскость Ах =
0 является координатной плоскостью Оуz.

41. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда
и только тогда, когда их нормальные
векторы
ипараллельны,
а значит

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны
тогда и только тогда, когда их нормальные
векторы перпендикулярны, а следовательно
или.

Таким образом,

Примеры.

Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку

M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x 2y-7z 8=0.

Уравнение плоскости будем искать в виде
Ax By Cz D=0. Из условия параллельности
плоскостей следует, что: . Поэтому можно
положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение
плоскости принимает вид3x 2y-7z D=0.

Кроме того, так какMÎ α, то-6 2-28 D=0, D=32.

Итак, искомое уравнение 3x 2y-7z 32=0.

Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки M1(1; 1; 1), M2(0; 1; –1) перпендикулярно
плоскости x y z=0.

Так как M1Î α, то используя уравнение
плоскости, проходящей через заданную
точку, будем иметь A(x-1) B(y-1) C(z-1)=0.

Далее, так как M2Î α, то подставив координаты
точки в выписанное уравнение, получим
равенство -A-2C=0 или A 2C=0.

https://www.youtube.com/watch{q}v=ytdevru

Учтем, что заданная плоскость
перпендикулярна искомой. Поэтому
A B C=0.

Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C
и подставим их в исходное уравнение:
-2C(x-1) C(y-1) C(z-1)=0.

Окончательно получаем -2x y z=0.

Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно
плоскостям 2x 3y-2z-4=0 и 3x 5y z=0.

Так как MÎ α, то A(x 2) B(x-3) C(z-6)=0.

По условию задачи , поэтому

https://www.youtube.com/watch{q}v=https:accounts.google.comServiceLogin

Итак уравнение плоскости принимает вид
13(x 2)-8(y-3) z-6=0 или 13x-8y z 44=0.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock detector